Symmetric Matrix와 Eigen Decomposition-2

Symmetric Matrix: 정방행렬 중에서 대각원소를 중심으로 원소 값들이 대칭이 되는 행렬
수식으로 표현하면 \(A^T=A\)를 만족하는 행렬이라고 볼 수 있겠습니다.

실원소(Real-valued) 대칭행렬은 항상 Eigen Decomposition(고유값 대각화 분해)가 가능하며 더구나 Orthogonal Matrix(직교행렬)로 대각화가 가능합니다.
\(A=P{\Lambda}P^{-1}=P{\Lambda}P^{T}\)

\(PP^{T}=I\)

\(P\): 직교행렬(orthogonal matrix), \({\Lambda}\): 대각행렬(diagonal matrix)

즉, 모든 정방행렬이 eigen decomposition이 가능한 것은 아니지만, Symmetric Matrix는 항상 eigen decomposition이 가능하고 orthogonally dianalizable하게 됩니다.

아래의 식은 symmetric matrix를 eigen decomposition하게 되면 orthogonal matrix를 얻을 수 있는 증명입니다.

##참고(용어정리)

orthogonal: \(v_1{\cdot}v_2=0\)

orthonormal: \(v_1{\cdot}v_2=0\) & \(||v_1||\)=1, \(||v_2||\)=1 

orthogonal matrix: \(A^{-1}=A^{T}\) or \(AA^{T}=I\) / column vector 또는 row voctor들은 orthonormal!!