Vector Space(벡터 공간)

같은 수의 성분을 가지는 벡터들로 이루어진 공집합이 아닌 집합 V가 있을때 V에 속하는 임의의 두 벡터 a, b의 일차결합 또한 V에 속하고, 벡터에 대한 덧셈과 스칼라곱을 하였을 때 그 결과도 집합V에 속할때, 집합 V를 벡터공간(vector space) 또는 선형공간(linear space)라고 하며, 그 원소를 vector라고 합니다.

 

중요!!덧셈,스칼라 곱에 대해 닫혀있을 때 벡터공간을 정의할 수 있습니다.

 

벡터 부분공간(vector subspace)

벡터공간 V의 공집합이 아닌 부분집합 W가 벡터공간 구조를 가질 때, 부분집합 W가 벡터공간 V에서 정의된 덧셈연산과 스칼라 곱 연산을 만족할 때, 그 부분집합 W를 벡터 부분공간(vector subspace)라고 합니다.

생성공간(span), 생성된 부분공간(space spanned by)

성분의 수가 같은 a(1), ….., a(n)이 주어졌다고 하고, 이들의 1차결합으로 표현되는 모든 벡터들의 집합을 이들 벡터들의 생성된 공간(space spanned by)이라고 합니다. 생성공간(span)은 그 자체로 벡터공간이 되며, 만인 주어진 벡터들 a(1), …, a(n)이 1차 독립이라면 이 벡터들은 해당 생성공간의 기저가 됩니다.

ex) 아래의 평면은 vector(3,0,0)과 vector(0,2,0)에 의해 생성된 R^3의 부분공간 (space spanned by (3,0,0), (0,2,0))이 되겠습니다. 당연히 아래 생성공간은 벡터공간이면, vector(3,0,0)과 vector(0,2,0)은 선형독립이므로 두 벡터의 집합은 벡터공간의 기저(basis)가 되겠습니다.

위에 생성된 공간 (span)은 기저의 원소(벡터)의 개수가 2개이므로 2차원(2 dimension)의 부분공간(subspace)가 됩니다.

차원(dimension)

벡터공간V에 속한 1차독립 벡터들의 최대수를 V의 차원이라고 부르며, dim V로 표기합니다. 여기서 벡터공간은 유한하다고 가정합니다.

W가 \(R^m\)의 부분공간이고, 벡터 a(1), … , a(n)이 W의 선형독립 원소라고 할때, 기저의 원소 개수를 부분공간 W의 차원이라고 합니다.