Eigenvalue Decomposition(고유값 분해)-1

1. 고유값(eigen value)와 고유벡터(eigen vector)란?

 

고유벡터: 어떤 선형변환 \(A\)에 의한 변환결과가 자기 자신의 상수배(고유값)이 되는 0이 아닌 벡터

 

즉, \(n{\times}n\) 정방행렬(square matrix) \(A\)에 대해 \(Av={\lambda}v\)를 만족하는 0이 아닌 열벡터 \(v\)를 고유벡터, 상수 \(\lambda\)는 고유값이라고 합니다.

 

2. 고유값 분해를 이용한 대각화 (Eigen Decomposition)

단, 이 방법은 square matrix에 대해서만 가능!!

이와 같이 행렬 \(A\)는 자신의 고유벡터들을 열벡터로 하는 행렬과 고유값을 대각원소로 하는 행렬의 곱으로 대각화 분해가 가능합니다(Eigen Decomposition)

 

3. 고유값 분해(eigen decomposition)가능조건-linearly independent(일차독립)

 

모든 square matrix가 고유값 분해가 가능한 것은 아닙니다. \(n{\times}n\) 정방행렬 \(A\)가 고유값 분해가 가능하려면 행렬 \(A\)가 n개의 일차독립인 고유벡터를 가져야합니다.

 

여기서 먼저 linearly independent(일차독립)이란??

어떤 벡터들의 집합 \({v_1, v_2, .... v_n}\)이 있을 때, 이들 벡터 가운데 어느 한 벡터라도 다른 벡터들의 일차결합으로 표현될 수 없으면 이 벡터들은 서로 일차독립이라고 칭합니다.

어떤 행렬에 대해 eigen value는 유일하게 결정되지만 eigen vector는 유일하지 않습니다.

 

\(Av={\lambda}v\)에 c를 곱하면, \(A(cv)={\lambda}(cv)\)가 되므로 \(v\)가 \(\lambda\)에 대한 eigen vector이면, 0이 아닌 임의의 상수 c에 대해서 \(cv\) 또한 \(\lambda\)에 대한 고유벡터가 됩니다.

따라서 고유벡터는 제약조건을 만족하는 벡터들 가운데 어느 벡터를 사용해도 무방합니다.
단, 특성다항식의 해가 중근일 때, 일차독립인 2개의 eigen vector를 찾아야만 가능한 모든 고유벡터를 대표할 수 있게 됩니다.

대각행렬(Symmetric matirx)의 eigen decomposition내용은 중요하므로 다음 글에서 중점적으로 다루겠습니다~~